Безрозсудне застосування векторів в механіці, особливо в криволінійному русі, подібно набору завіс на театральній сцені. Замість показу вистави їх по черзі то опускають, то піднімають, то одну, то іншу, то третю, варіюючи їх екзотикою. А про що грають артисти по ту сторону, так і нічого не побачиш бо заважає ширма, що танцює перед очима глядачів.
Що являє собою вектор
Що таке вектор? Ось пояснення за підручником фізики.
"Переміщення - це особлива величина. Особлива тому, що вона визначається не тільки певним числом, а й напрямом. Таких величин у фізиці багато; їх називають векторними величинами або просто векторами. Зображуються вони відрізками прямих із стрілками. Довжина відрізка в певному масштабі показує абсолютне значення (модуль) векторної величини, а стрілка вказує її напрям. Векторні величини позначають буквами із стрілками над ними. Модуль (або довжина) вектору переміщення - число, що показує, скільком одиницям довжини (метрам, кілометрам і т.д.) дорівнює переміщення. Вектор позначається його модулем і напрямом.
Два вектори вважають рівними між собою, якщо рівні їх модулі і вони однаково напрямлені".
Будемо вважати, що цього поняття достатньо для дослідження їх ролі в русі тіла по колу.
Якщо згустити сказане за підручником, то вектор - це умовний знак, що вказує на напрям і величину переміщення тіла в просторі. Або простіше кажучи, за мережевою версією, математичний об'єкт, що характеризується величиною і напрямком.
В застосуванні векторних величин в прямолінійному русі цілком і повністю можна погодитися: все це правильно. А от щодо застосування їх в криволінійному русі, то тут не скрізь і всюди так гладко і правильно обходиться, як про це звик думати науковий світ.
В деяких випадках дії над векторами глибоко прихована помилка, яка й породжує серйозні заблудження, невірні поняття, невірні погляди на явища природи. Тому за мету в даному дослідженні над векторами стало виявити суть такої помилки і вказати на методи її виправлення.
Одне, що складає трудність - це пошуки першоджерел, звідки це все взято, хто вперше і на основі яких міркувань зважився застосувати векторні величини в круговому русі аби довести про існування доцентрового прискорення. Цікаво, чи хоч трішки він володів здравомислячим розсудом та логікою судження над реальними фактами? В чім і наскільки був його великий авторитет, щоб його творіння наслідували наступні покоління? З перегляду літератури явно видно незмінне наслідування без будь-яких відхилень, поправок або обґрунтувань.
Французький філософ і математик Рене Декарт (1596 - 1650) зробив великий вклад в науку - ввів прямокутну систему координат X і Y, яка дозволила отримувати алгебраїчні рівняння для кривих, дотичних і т.д.
Таку систему координат було названо "декартовою" або "картезіанською". Така система існує в побуті науки уже більше трьох століть, тобто ще з до-ньютонівського часу. Навіть і не математику, відверто кажучи, профану в цій галузі науки, теж цікавить наскільки правильно чи неправильно було застосовано декартову систему в упізнанні законів руху тіл по колу, особливо у визначенні прискорення доцентрового за допомогою векторів.
Спробуємо скористатися таким вченням декількох авторів та порозмислити над цим по-своєму так, наскільки це можливо.
Л. Купер в своїй книзі "Фізика для всіх" Т.1 Класична фізика, ось що пише: "введені математичні об’єкти (вектори) існують незалежно від існування сил. Ми могли б вивчати наслідок правила додавання векторів, якби навіть жили в такому світі, де немає ніяких сил. Відомо, наприклад, із алгебри або, як буде показано, із геометрії, що одні і ті ж математичні образи можна використовувати для опису різних фізичних явищ. с.43".
Це один із непростимих перших помилкових поглядів на оточуючий світ. Якби математику і геометрію можна було тримати ізольованою від матеріального світу, не застосовуючи її в упізнанні законів природи, не відшуковувати за її допомогою пояснень явищ природи, сказане можна було б вважати вірним.
Згідно встановленого поняття, що таке вектори, то такі в першу чергу не існують і не можуть існувати ізольовано або відірвано від руху матеріальних утворень, так же само, як рух не може існувати без сили, бо рух породжується силою, не залежно, яке її походження.
Вектор - це ж той умовний знак, що показує величину і напрям руху і за допомогою цього знаку для полегшення розуміння суті руху зображуємо наочно на папері, щоб виконувати певні дії, мета яких - розкриття їх природної суті.
Якщо забігти наперед цієї довгої розмови, то можна сказати так: нічого й дивуватися, що в дії з векторами математик шукає те, чого не загубив. При математичних діях бачити перед собою лише одні умовні позначення - вектори, і не пам’ятати, не бачити, що за ними криється реальність чи надуманість, то можна впевнено сподіватися на наслідки таких пошуків.
Початок невідповідності в круговому русі
Простежимо дальше.
"...вектор швидкості є вектор, величина якого рівна швидкості, а напрямок співпадає з напрямком руху.
Із такого визначення випливає, що вектор швидкості тіла може мінятися як при зміні величини швидкості тіла, так і при зміні напрямку його руху. Іншими словами, вектор швидкості не залишається постійним, якщо тіло рухається по прямій лінії з перемінною швидкістю або рухається з постійною швидкістю, але по криволінійному шляху".
Варто зробити невеличкий, але значущий відступ. Хоч автор і сказав, що вектори існують незалежно від сил, проте не дотримався слова. Але не це основне. Основним, просто дивно стає, у сказаному являється неосмислене охоплення уявою самого механізму руху тіла в його можливих напрямках з постійною або перемінною швидкістю. Розмірковуючи над сказаним становиться зрозумілим, що вся увага прикована до вектора і його положення в просторі по відношенню до суб’єкта, а не до піддослідного об’єкта. А звідси, наче б то зміна положення вектора впливає на становище об’єкта. Що наче б то і сама зміна руху залежить від розташування вектора.
Щоб зрозуміти суть справи, вдамося до конкретного прикладу.
Вектор - це величина швидкості і напрямок. Припустимо, матеріальна точка рухається по прямій із швидкістю 1 м/с. Позначимо цю величину вектором довжиною 2 см. На відрізку шляху швидкість руху сповільнилася до 0,5 м/с. Довжина стрілки-вектору буде 1 см. Після вповільнення почалося прискорення руху за кожну наступну секунду на величину 0,5 м. Значить, довжина або величина вектору буде мати такий вигляд: 0,02 - 0.01 - 0,02 - 0,03 - 0,04 (м) і т. д. Це вже явно показує, що тіло рухається рівноприскореним, тобто мається рівно прискорення руху. Помістимо дану точку на обідок махового колеса і приведемо його в обертовий рух з кутовою швидкістю 1 м/с, тобто, щоб лінійна швидкість точки дорівнювала 1 м/с. Величину цієї швидкості позначимо вектором довжиною 2 см, який розташовуємо по дотичній до кола в точці початку відліку руху. так як точка рухається рівномірно по колу зі сталою швидкістю, то ми вправі показати напрям її руху в будь-якому місці чи точці на орбіті круговій. Напрям такий ми позначаємо векторами вздовж по колу. Запитується, якої величини повинні бути вектори наступні від початкового?
Згідно умови всі вектори повинні бути однакової величини, так як точка рухається з постійною і незмінною швидкістю 1 м/с, тобто довжиною 2 см.
Із даного судження висновку поки-що не будемо робити.
Простежимо далі за викладом думки Л. Купера.
"Визначимо тепер вектор прискорення:
вектор прискорення а=(зміну вектора швидкості)/(проміжок часу)=∆v/∆t
Значить тіло прискорюється при руху по прямій лінії з наростаючою швидкістю або при рухові з постійною швидкістю, якщо напрямок його руху змінюється. Тіло прив’язане до вірьовки і обертається по колу з постійною швидкістю прискорюється, так як напрямок його руху безперервно змінюється. (Оскільки тіло прискорюється, до нього прикладена сила, яка в даному випадку характеризується натягом вірьовки)."
Виникнення протиріч в судженнях
Із книги подано копію малюнка. Запитується, чому величина векторів однакова. Згідно сказаного Купером V2 повинен бути довшим за V1, а V3 повинен бути довшим за V2. Тут логіка проста і зрозуміла. Якщо ми дивимося на металевий предмет, то і говоримо, що дана річ виготовлена з металу, бо ми бачимо перед собою цей матеріал і знаємо його фізичні і хімічні властивості. А в даному випадку ми дивимося на біле, а кажемо, що воно чорне. Тут ми самі собі заперечуємо і думаємо, що ми цілком вірно мислимо. Добавимо: мислимо, але не осмислюємо. Протиріччя та й годі.
Згідно Вікіпедії, протиріччя (чи суперечність) — це коли два судження, і кожне з наявних є запереченням іншого.
С.М. Виноградов у своїй книзі "Підручник логіки" пише що "…немає більшого заперечення проти будь-якої системи помислів, ніж показ в тій системі протиріччя, яке в ній полягає. с.10. "
А раз виникає протиріччя, то якась одна із сторін стоїть на хибному шляху: або невірні загальноприйняті положення про доцентрове прискорення, або в наявності невірне розуміння даного явища.
В чім же суть протиріччя?
Перш за все кидається у вічі неузгодження формального поняття векторної величини, що виражає величину прискорення з уявним прискоренням тіла по колу, яке залишає сталою цю величину, а лише вказує на зміну положення в просторі даної величини.
Поняття доцентрового прискорення в рівномірному русі по колу просто перекреслює дійсний стан прискорення, тобто виведені правила, що називається прискоренням, умовно прийняті величини, що виражають величину прискорення. Як би навмисне величину прискорення підмінюється зміною напрямку швидкості, спостерігаючи рівномірний рух, а говорять, що він прискорений. Коротше кажучи, зміст слів не відповідає об’єктивності.
Але це ще не все. На основі виявленого протиріччя ще рано робити остаточний висновок. Не менш вагомі контраргументи можна протипоставити стороні, що аргументує і математично доводить доцентрове прискорення. А ще цікавіше дізнатися про умови й причини виникнення поняття "доцентрове прискорення".
Ерік Роджерс "Фізика для допитливих".
Прискорення тіла, що рухається по колу. с.205.
"Розглянемо планету, що рухається по колу (камінь на вірьовці або літак, або атом).
- Чи будуть вони мати прискорення?
- Якщо ні, то нам важко буде відшукати діючу на них результуючу силу, але тоді чому вони не рухаються вперед по прямій?
- Так все ж, чи не має планета прискорення? Звичайно, прискорення вздовж напрямку її руху відсутні, адже ми вибрали випадок руху з постійною швидкістю."
Що можна сказати про зміст цих декількох рядків із книги Еріка Роджерса? Одне: цілком природний пошук закономірностей руху тіл по колу на основі відкритих законів Ньютоном. Але варто зауважити, що рух як такий по своїй формі подібний скрізь, та не скрізь він виникає на основі одних і тих же самих причин. Рух по колу небесних тіл і рух по колу тіл в земних умовах далекі за своїм змістом причинності і механізму спонукання такого.
Дійсно, планетні тіла, що рухаються по колу, вірніше по еліптичній орбіті у вільному просторі в полі тяжіння сонячної системи, мають доцентрове прискорення. Це - пряма відповідь на поставлене перше і третє запитання. Але це прискорення науці ще не відоме. На таке прискорення Ньютон лише вказав, не розкривши, не пояснивши його суті.
Дізнатися про нього науковий світ прагне уже декілька століть. А тому й не дивно, що в науковій літературі появляється чимало невірних уявлень і тлумачень про природу такого руху. Істинні знання породжують собі подібні, а уявлення неправильні теж породжують подібних, похідних собі. Тому проблему руху планет на основі законів Кеплера та Ньютона варто розглядати окремо, так як не стосується обраної теми дослідження.
В книзі Роджерса, згадується, є натяк, звідки і на основі чого появилося поняття "доцентрове прискорення". Імовірно, що це не його власний вибір думки, а взято з якихось інших джерел більш давніших, можливо, ще з часів Ньютона. Однак скористаємося цим.
Роджер заперечує можливість прискорення вздовж напрямку руху планети, так як вона рухається на своїй орбіті з постійною швидкістю. В цім він має рацію. Але все це говорить не про що інше, як неосмислене відношення до законів Кеплера в поєднанні із законами Ньютона.
"Можливо, - пише далі Роджерс, - мається прискорення, направлене поперек руху планети, перпендикулярно йому?"
Думається, що якраз це "Можливо" і послужив поштовхом до пошуку доцентрового прискорення в русі тіла, швидкість якого являється постійною, очевидною. Не вникаючи в деталізацію складного орбітального руху, "можливо" прикувало всю увагу до одного поняття - поняття радіального напрямку.
Простежимо за ходом пошуку і проаналізуємо наслідки такого.
Спроба підтвердити наявність доцентрового прискорення
Роджер починає з векторів.
"Спробуємо намалювати вектори, за допомогою яких можна було б розглянути зміну (вектора) швидкості. Нехай тіло P переміщується по колу радіусом R з постійною швидкістю V, яка представляє собою абсолютну величину вектору швидкості тіла P. Напрямок швидкості співпадає з напрямком переміщення тіла в кожний момент часу. В точці А вектор швидкості тіла V спрямований, як це показано на мал., по дотичній. Якщо тіло рухається з постійною швидкістю, то в точках А і В величина вектору швидкості V буде однією і тією ж, але напрямок буде різним, обидва вектори не ідентичні. Між точками А і В відбувається зміна швидкості. (А внаслідок цього і прискорення, а тому... продовжуючи ці судження, ми доберемося до планетарної астрономії.) Для визначення "прискорення" розрахуємо зміну швидкості і поділимо його на відповідний інтервал часу. Така процедура передбачає вираховування векторів для знаходження зміни швидкості, що вже було зроблено з задачі на початку цього розділу."
Значить, дослідник поклався на найбільш важливу справу - на умовні позначення напрямку руху, а все інше "незначуще", як непотрібне відкинув геть. Тільки перший початок методу такого дослідження може гарантувати на стовідсоткову невдачу.
В даному разі вектори - це ніщо, так як за ними не криється чогось реального і складового всього механізму руху. Якщо в дослідженні чимось одним однісіньким оперувати, то це все одно, що шилом воду ткати, де встромиш, там і витягнеш, але візерунка ніколи не будеш мати.
Мета в такому дослідженні відома і ясна: відшукати прискорення тіла P при умові, що воно рухається з постійною швидкістю навколо центру O.
Логічне, навіщо ж відшуковувати прискорення, якщо вся справа руху очевидна: тіло рухається з постійною швидкістю. А раз швидкість постійна, то яка мова може бути про прискорення цього тіла? Це вже щось таке надприродне! Сама природа показує наочно що такого немає, а їй таке нав’язують.
Коли вдумливо віднестися до пояснення Роджерса, то появляється цікава річ, де автор сам себе заводить в оману і нею, як дійсністю, користується. Звернемо увагу на такі вислови: "Якщо тіло рухається з постійною швидкістю, то в точках А і В величина вектора швидкості V буде однією і тією ж, але напрямок буде різним, обидва вектори не ідентичні."
Автор цілком обдумано визнає величину векторів однаковою на основі дійсного стану руху - рівномірного руху по колу. А вже говорячи про напрямок векторів, в нього просто випадає з уваги поняття про криволінійний рух з належним до цього поняттям про вимушене таке положення векторів. І як вектор змінив свій напрям він вже вважає його не ідентичним - зміненим.
По суті справи яких-небудь помітних змін з векторами аж ніяк не сталося. І перший вектор цілком ідентичний другому як другий - першому. А те, що другий змінив своє положення відносно першого, то це цілком природне явище, так як він змушений вказувати напрям руху тіла по колу в будь-якій точці орбіти. Від цього ніщо не змінюється. Просто дивує, чому склалася така думка, що зміна положення вектора повинна призвести до якихось змін швидкості тіла по колу? Адже вектор - це не важіль, яким можна змінити швидкість. На здоровий розсуд, запитуючи навіть самого себе, що від чого залежить, чи рух тіла від вектора, чи вектор від руху тіла, - це ж не вираження реальної сили, що може надати прискорення, коли один вектор змістився на певний кут відносно іншого. Таке становище можна просто вважати штучною підтасовкою "факту" для подальших доведення про існування доцентрового прискорення при рівномірному русі по колу. Але і це не основне.
"Між точками А і В відбувається зміна швидкості" - впевнено говорить Роджерс.
Якщо сказане пропустити мимо уваги, то всяк може подумати, що справді відбувається зміна швидкості в буквальному розумінні цього слова. А що значить зміна швидкості? Це перш за все рух, що або прискорюється, або сповільнюється. Звідси випливає логічне судження, якщо таких векторів поставити багато і рівновіддаленими один від одного, то від одного вектора до другого відбуватиметься зміна швидкості. Якщо ця зміна буде додатна, то тіло зазнаватиме прискорення, тобто рухатиметься зі зростаючою швидкістю! Це явно суперечить попередньому положенню, що тіло рухається по колу з незмінною рівномірною швидкістю. Виходить, що ми судимо не вникаючи в реальний стан речей, а так як показують вектори. Ні, вектори показують вірно, але ми невірно сприймаємо цю реальність.
"А внаслідок цього, - продовжується далі - і прискорення..." Тут уже логічна побудова думки: раз між точками А і В відбулася зміна швидкості, то це вже буде прискорення за всіма правилами фізики.
От що значить допустити помилку в судженні про явище і на основі цього зробити висновок за всіма правилами логіки. Тут уже не логіка винувата, а погляд на об’єктивність.
Правильно було б сказати: "Між точками А і В відбувається зміна напряму швидкості". Це і відбивало б реальний стан руху, а заодно і об’єктивний погляд на речі.
Пропуск всього-на-всього одного слова змінює корінним чином всю суть справи.
"а тому... продовжуючи ці судження - говорить Роджерс - ми доберемося до планетної астрономії".
Це значить, що на основі таких суджень можна так легко розгадати суть прискорення і планетних тіл.
Тут без зайвих слів видно, як науковий світ намагається скористатися законами Ньютона в поясненні причин виникнення прискорення (доцентрового) в русі тіл земного походження.
Про суть явища руху планет навколо свого центру тяжіння слід вести розмову окремо.
Цілком правильно говорить Роджерс, що "для визначення прискорення слід розраховувати зміну швидкості діленням такої на відповідний інтервал часу." І це незаперечне правило стосується не тільки руху матеріальної точки по прямій, а й по кривій, по колу. Якщо ми визначаємо кутову швидкість руху матеріальної точки чи тіла в якийсь окремий момент часу, то це ще не значить, що така кутова швидкість являється сталою на протязі більш довшого відрізку часу.
Кутова швидкість може зростати і може спадати, якраз таке прискорення руху тіла і відповідає згаданому правилу.
А то виходить, що в швидкості одного і того ж тіла в один і той же проміжок часу відшуковується разом два прискорення лінійного руху тіла по колу і доцентрове. Хіба це буде вірно? Якщо таке можливе, то тіло уже не буде рухатись по колу, а по низхідній спіралі, тобто зводитися до центру обертання зі зростаючим прискореним рухом в двох напрямках. А так як ми маємо на увазі рівномірний рух по колу, то й ніякої мови не може бути про доцентрове прискорення, крім поняття про зміну напрямку самої швидкості. А зміна напрямку швидкості - це ще не фактор причинності прискорення.
Якщо навіть з філософської точки зору підійти до поняття "доцентрове прискорення", то це повинно бути спадковістю якоїсь то причинності. А відшукається така? Ні. Значить і спадковості не може бути. Але таке положення при криволінійному русі в науці ще далеко не до-осмислюється. І замість того, щоб на основі вірно сказаного правила про пошук прискорення дійсного, автор ніби нарочито зводить всю справу знову до векторів. "Така процедура передбачає вираховування векторів для знаходження зміни швидкості, що вже було зроблено в задачі на початку цього розділу".
Не будемо вважати за потрібне робити аналізу цих задач, так як про додавання векторів буде сказано пізніше при розгляді питання виведення формули a=V2/R.
Наступним кроком в затвердженні, що дійсно існує прискорення тіла, що рухається колу з постійною швидкістю, робить спробу довести на векторній діаграмі. Не буде доцільним робити аналіз ходу його математичних суджень, так як саме начало побудовано на помилковій уяві про рух тіла по колу.
Ось з чого він починає. "В міру руху тіло P міняє свою швидкість від (V вздовж АТ) до (V вздовж ВТ1). Для визначення зміни швидкості побудуємо векторну діаграму. Перенесемо цих два вектори в спільну точку X і проведемо лінію XY, що являтиме вектор швидкості V в точці А і лінію XZ, що являтиме вектор швидкості V в точці В. Тоді XY буде "стара швидкість", а XZ "нова швидкість". Яка ж зміна швидкості? Який вектор слід прибавити до старого вектору швидкості для отримання нового вектору швидкості? Таку зміну показано за допомогою відрізка YZ, який являє собою вектор і позначається ∆V на малюнку. Тоді (старий вектор V) + ∆V шляхом додавання векторів дає (новий вектор V)."
Ну і далі він розгортає широке поле діяльності над цими векторами шляхом хитромудрих сплетінь математичних формул і знаків.
Знову повторюється навмисне допущена помилка про що вже говорилося: "тіло все-таки міняє свою швидкість, а не напрям швидкості".
Яка ж об’єктивність криється за цією векторною діаграмою? Ніякої, крім самообману про зміну швидкості, якої зовсім немає. Але все так підтасовується, аби зійшлося в кінцевому наслідку з формулою a=V2/R.
І в кінці-кінців після складного математичного судження над векторами автор робить висновки:
"Це співвідношення прискорення a=V2/R - дуже важливе. Ми будемо використовувати його в теорії руху планет, при вивчені руху електронів і при виготовленні мас-спектрометрів і конструюванні циклотронів - скрізь, де ми стикаємося з рухом на орбіті."
Формула доцентрового прискорення не витримує практичної перевірки
Не будемо судити про наслідки використання даної формули в перерахованих областях науки, а от щодо астрономії, то немає як погодитися. Сама найелементарніша перевірка по-учнівському не дає бажаних наслідків. Наприклад, рух Землі.
Спробуємо побавитися математикою.
a=V2/R
a=? V=30 км/с R=150 000 000 км
a=V2/R=302/150 000 000 = 6 мм/с
Згідно формули Земля прискорює свій біг на орбіті щосекунди 6 мм.
За 1 хв - 360 мм =36 см
За 1 год. - 60 х 0,36 м = 21,6 м
За 1 добу - 24 х 21,6 м = 518,4 м
За 1 місяць - 30 х 518,4 м = 15 км 552 м
За півроку - 6 х 15,552 км = 93,312 км
І всю цю процедуру ставимо під знаком запитання, бо чомусь відповідь досить велика. Виходить, що в перигелії швидкість Землі понад 93 км/с, тоді як планета рухається зі швидкістю 30 км/с.
А вираховування починалося від афелію, де початкова швидкість дорівнювала нулю. Якщо до швидкості перигелію додати в афелії - біля 28 км/с, то отримаємо справжню нісенітницю - 121 км/с. Якщо це так, то хіба дана формула говорить про щось реальне? Адже бралися дійсні величини: і швидкість планети, і віддаль до Сонця. А отримали що?
Хіба може планета Земля мати таке прискорення? Згідно розрахунків прискорення Землі не перевищує 0,1 мм/с.
Не краще справа побутує і в інших навчальних матеріалах, ті ж самі пошуки неіснуючого на основі тих же векторів.
Запитується, чи потрібно все це на поличках?
